Misalkan kita memiliki sebuah metode pembangkit bilangan acak dengan fungsi densitas \(g(x) \). Kita dapat menggunakan fungsi tersebut sebagai basis/dasar untuk membangkitkan variabel acak dari distribusi kontinyu lain yang memiliki fungsi densitas \(f(x) \) dengan cara membangkitkan Y dari g dan kemudian menerima nilai yang dibangkitkan ini dengan sebuah proporsi probabilitas terhadap \(f(Y)/g(Y) \)
Secara lebih spesifik, misalkan \(c \) adalah sebuah konstanta sedemikian sehingga
\( \frac{ f(y) }{ g(y) } \leq c \) untuk semua y
Berikut adalah penggambaran langkah-langkahnya :
Langkah 1 : Bangkitkan Y yang memiliki densitas g
Langkah 2 : Bangkitkan sebuah bilangan acak U
Langkah 3 : Jika \(U \leq \frac{f(Y)}{c g(Y)} \leq c, jadikan X = Y \). Lainnya, kembali ke langkah 1
Contoh 5d :
Gunakanlah metode Rejection untuk membangkitkan variabel acak yang memiliki fungsi densitas sebagai berikut :
\( f(x) = 20 x (1 – x)^3, : : : : 0<x<1 \)
Karena variabel acak ini (dimana berdistribusi beta dengan parameter 2,4) berkumpul di internal (0,1), mari kita ambil metode rejection dengan
\(g(x)=1, ; ; 0<x<1 \)
Untuk menentukan konstanta c sedemikian sehingga \(frac{f(y)}{g(y)}leq c \), kita gunakan kalkulus untuk menemukan nilai maksimum dari
\(frac{f(x)}{g(x)} = 20 x (1 – x)^3 \)
Diferensiasi atau turunan pertama dari kuantitas ini adalah :
}{g(x)} right ) &= frac{d}{dx}left (20x (1-x)^3 right )\ &= u'v + uv'\ &= 20 (1-x)^3 - 20x.3.(1-x)^2\ &= 20(1-x)^2 ((1-x)-3x)\ &= 20(1-x)^2(1-4x) end{align*} "begin{align*} frac{d}{dx}left ( frac{f(x)}{g(x)} right ) &= frac{d}{dx}left (20x (1-x)^3 right )\ &= u'v + uv'\ &= 20 (1-x)^3 - 20x.3.(1-x)^2\ &= 20(1-x)^2 ((1-x)-3x)\ &= 20(1-x)^2(1-4x) end{align*}")
Dengan menjadikan persamaan ini sama dengan 0 akan menunjukkan :
^2(1-4x) &= 0\ (1-x)^2(1-4x) &= 0\ end{align*} \ Diperoleh : x_1 = 1 , atau , x_2=1/4 \ f(x_1)=0 ; ; f(x_2)=2.1 "begin{align*} 20(1-x)^2(1-4x) &= 0\ (1-x)^2(1-4x) &= 0\ end{align*} \ Diperoleh : x_1 = 1 , atau , x_2=1/4 \ f(x_1)=0 ; ; f(x_2)=2.1")
jadi nilai maksimum dicapai bila x = 1/4 dan dengan demikian :
\(frac{f(x)}{g(x)} = 20left ( frac{1}{4} right )left ( frac{3}{4} right ) ^3 = frac{135}{64}equiv c \)
Karenanya
\(frac{f(x)}{c g(x)} = frac{256}{27}x left ( 1 – x right )^3 \)
Karenanya prosedur rejection menjadi sebagai berikut :
Langkah 1 : Bangkitkan bilangan acak \(U_1 dan U_2 \).
Langkah 2 : \(jika U_2 leq frac{256}{27} U_1 left ( 1 – U_1 right )^3 \), berhenti dan jadikan \(X = U_1 \). Lainnya kembali ke langkah 1.
Rata banyak nya langkah 1 dilakukan adalah \(large c = frac{135}{64} approx 2.11\).
