Metode Rejection untuk Membangkitkan Variabel Acak Kontinyu

Misalkan kita memiliki sebuah metode pembangkit bilangan acak dengan fungsi densitas \(g(x) \). Kita dapat menggunakan fungsi tersebut sebagai basis/dasar untuk membangkitkan variabel acak dari distribusi kontinyu lain yang memiliki fungsi densitas \(f(x) \) dengan cara membangkitkan Y dari g dan kemudian menerima nilai yang dibangkitkan ini dengan sebuah proporsi probabilitas terhadap \(f(Y)/g(Y) \)

Secara lebih spesifik, misalkan \(c \) adalah sebuah konstanta sedemikian sehingga

\( \frac{ f(y) }{ g(y) } \leq c \) untuk semua y

Berikut adalah penggambaran langkah-langkahnya :

Langkah 1 : Bangkitkan Y yang memiliki densitas g
Langkah 2 : Bangkitkan sebuah bilangan acak U
Langkah 3 : Jika \(U \leq \frac{f(Y)}{c g(Y)} \leq c, jadikan X = Y \). Lainnya, kembali ke langkah 1

Contoh 5d :
Gunakanlah metode Rejection untuk membangkitkan variabel acak yang memiliki fungsi densitas sebagai berikut :

\( f(x) = 20 x (1 – x)^3, : : : : 0<x<1 \)

Karena variabel acak ini (dimana berdistribusi beta dengan parameter 2,4) berkumpul di internal (0,1), mari kita ambil metode rejection dengan

\(g(x)=1, ; ; 0<x<1 \)

Untuk menentukan konstanta c sedemikian sehingga \(frac{f(y)}{g(y)}leq c \), kita gunakan kalkulus untuk menemukan nilai maksimum dari

\(frac{f(x)}{g(x)} = 20 x (1 – x)^3 \)

Diferensiasi atau turunan pertama dari kuantitas ini adalah :

Dengan menjadikan persamaan ini sama dengan 0 akan menunjukkan :

jadi nilai maksimum dicapai bila x = 1/4 dan dengan demikian :

\(frac{f(x)}{g(x)} = 20left ( frac{1}{4} right )left ( frac{3}{4} right ) ^3 = frac{135}{64}equiv c \)

Karenanya

\(frac{f(x)}{c g(x)} = frac{256}{27}x left ( 1 – x right )^3 \)

Karenanya prosedur rejection menjadi sebagai berikut :

Langkah 1 : Bangkitkan bilangan acak \(U_1 dan U_2 \).
Langkah 2 : \(jika U_2 leq frac{256}{27} U_1 left ( 1 – U_1 right )^3 \), berhenti dan jadikan \(X = U_1 \). Lainnya kembali ke langkah 1.

Rata banyak nya langkah 1 dilakukan adalah \(large c = frac{135}{64} approx 2.11\).

Leave a Reply

Your email address will not be published.

Captcha Captcha Reload