Metode Rejection untuk Membangkitkan Variabel Acak Kontinyu

28 December 2009 toosa Leave a comment

Misalkan kita memiliki sebuah metode pembangkit bilangan acak dengan fungsi densitas $g(x) $. Kita dapat menggunakan fungsi tersebut sebagai basis/dasar untuk membangkitkan variabel acak dari distribusi kontinyu lain yang memiliki fungsi densitas $f(x) $ dengan cara membangkitkan Y dari g dan kemudian menerima nilai yang dibangkitkan ini dengan sebuah proporsi probabilitas terhadap $f(Y)/g(Y) $

Secara lebih spesifik, misalkan $c $ adalah sebuah konstanta sedemikian sehingga

$ \frac{ f(y) }{ g(y) } \leq c $ untuk semua y

Berikut adalah penggambaran langkah-langkahnya :

Langkah 1 : Bangkitkan Y yang memiliki densitas g
Langkah 2 : Bangkitkan sebuah bilangan acak U
Langkah 3 : Jika $U \leq \frac{f(Y)}{c g(Y)} \leq c, jadikan X = Y $. Lainnya, kembali ke langkah 1

Contoh 5d :
Gunakanlah metode Rejection untuk membangkitkan variabel acak yang memiliki fungsi densitas sebagai berikut :

$ f(x) = 20 x (1 – x)^3, : : : : 0<x<1 $

Karena variabel acak ini (dimana berdistribusi beta dengan parameter 2,4) berkumpul di internal (0,1), mari kita ambil metode rejection dengan

$g(x)=1, ; ; 0<x<1 $

Untuk menentukan konstanta c sedemikian sehingga $frac{f(y)}{g(y)}leq c $, kita gunakan kalkulus untuk menemukan nilai maksimum dari

$frac{f(x)}{g(x)} = 20 x (1 – x)^3 $

Diferensiasi atau turunan pertama dari kuantitas ini adalah :

$begin{align*} frac{d}{dx}left ( frac{f(x)}{g(x)} right ) &= frac{d}{dx}left (20x (1-x)^3 right )\ &= u'v + uv'\ &= 20 (1-x)^3 - 20x.3.(1-x)^2\ &= 20(1-x)^2 ((1-x)-3x)\ &= 20(1-x)^2(1-4x) end{align*}$

Dengan menjadikan persamaan ini sama dengan 0 akan menunjukkan :

$begin{align*} 20(1-x)^2(1-4x) &= 0\ (1-x)^2(1-4x) &= 0\ end{align*} \ Diperoleh : x_1 = 1 , atau , x_2=1/4 \ f(x_1)=0 ; ; f(x_2)=2.1$

jadi nilai maksimum dicapai bila x = 1/4 dan dengan demikian :

$frac{f(x)}{g(x)} = 20left ( frac{1}{4} right )left ( frac{3}{4} right ) ^3 = frac{135}{64}equiv c $

Karenanya

$frac{f(x)}{c g(x)} = frac{256}{27}x left ( 1 – x right )^3 $

Karenanya prosedur rejection menjadi sebagai berikut :

Langkah 1 : Bangkitkan bilangan acak $U_1 dan U_2 $.
Langkah 2 : $jika U_2 leq frac{256}{27} U_1 left ( 1 – U_1 right )^3 $, berhenti dan jadikan $X = U_1 $. Lainnya kembali ke langkah 1.

Rata banyak nya langkah 1 dilakukan adalah $large c = frac{135}{64} approx 2.11$.

$\sqrt{x} =$