Variabel Acak

Ketika sebuah percobaan dilakukan, biasanya hasil kejadian yang diperoleh berupa ‘nama kejadian’ seperti : buka dan tutup; terang, redup dan gelap; merah, kuning dan hijau; hidup dan mati dan lain sebagainya. Informasi kejadian yang berbentuk seperti demikian itu belum dapat kita gunakan dalam perhitungan matematis.

Oleh karenanya agar kita bisa olah lebih lanjut, kita harus mengubahnya menjadi suatu bentuk kuantitatif berupa nilai numerik yang menjelaskan hasil percobaan/kejadian tersebut. Nilai kuantitatif yang menjelaskan hasil percobaan/kejadian ini dikenal dengan istilah variabel acak (random variables).

Misalkan ada sebuah percobaan yang memiliki outcome (semua kejadian yang mungkin muncul dalam percobaan) berupa benar dan salah. Maka ketika benar diwakilkan dengan angka 1 dan salah diwakilkan dengan angka 0, maka  0 dan 1 adalah numerik yang mewakili kejadian random benar dan salah yang pada akhirnya disebut sebagai variabel acak. Jadi boleh dikatakan bahwa variabel acak adalah sebuah fungsi yang memetakan kejadian yang ada di alam menjadi bilangan numerik. Semua kejadian yang mungkin muncul dalam suatu percobaan kita sebut sebagai anggota Ruang Sample yang dinotasikan dengan S.

Contoh :

Lemparlah sebuah uang logam yang memiliki sisi atas (kejadian muncul sisi atas kita sebut A), dan sisi bawah (kejadian muncul sisi atas kita sebut B) sebanyak 10 kali. Maka :

• Ruang sample perobaan ini adalah S = {AABBABABAB, … } meliputi semua konfigurasi dari A dan B.
• Misalkan Variabel Acak X adalah banyaknya nya Sisi Atas yang muncul, \(X:S \to \Re \) atau dalam contoh ini \(X:S \to \left \{ 0,1, \cdots,10 \right \} \)

Fungsi distribusi kumulatif atau biasanya disingkat fungsi distribusi saja, F dari variabel acak X  untuk sembarang bilangan riil x  ditentukan dengan :

\(F(x)= P\left \{ X\leq x \right \}\)

Sebuah Variabel Acak disebut diskrit jika variabel acak ini terdiri dari sejumlah angka yang terhitung dan terbatas dari nilai-nilai yang mungkin terjadi. Untuk sebuah variabel acak diskrit X kita tentukan Fungsi Masa Probabilitas (Probability Mass Function) p(x) dengan :

\(p(x)= P\left \{ X= x \right \}\)

Jika X adalah variabel acak diskrit yang memiliki nilai yang mungkin muncul \( x_1, x_2,\cdots\), maka karena X harus berasal dari salah satu nilai-nilai tersebut, kita akan memperoleh :

\(\sum_{i=1}^{\infty }p(x_i)=1\)

Contoh : Misalkan X bernilai dari salah satu 1,2 atau 3. Jika

\(p(1)=\frac{1}{4},\; \; \; p(2)=\frac{1}{3} \)

maka, karena \(p(1)+p(2)+p(3)=1\) , akan menghasilkan \(p(3)=\frac{5}{12}\)