Menghitung Integral dengan menggunakan Bilangan Acak

13 October 2010 adminku Leave a comment

Misalkan g(x) adalah sebuah fungsi. Kita ingin menghitung $ \theta $ yaitu :

$\dpi{100} \theta = \int_{0}^{1} g(x) dx$

Apa yang menjadi dasar bahwa integral di atas dapat dihitung dengan menggunakan bilangan random $ \theta $

Penjelasan :

Ambil U suatu bilangan acak yang terdistribusi secara uniform dan independent di interval (0,1).

Kemudian misalnya kita nyatakan $ \theta $ sebagai :

$\theta = E[g(U)]$

Jika $U_{1}, … , U_{k}$ adalah variabel random yang independent dan uniform di interval (0,1), maka menjadikan juga $g( u_{i} )$ adalah sebagai variabel random yang independent dan terdistribusi secara identik dengan mean $ \theta $. Karena itu, dengan menggunakan dasar hukum kuat dari bilangan besar (the strong law of large numbers), mengikuti ketentuannya dengan probabilitas 1.

$\large \sum_{i=1}^{k}\frac{g(U_{i})}{k} \to E[g(U)]= \theta \;\;\;\; ketika \; k \to \infty$

Karena itu kita dapat mendekati $ \theta $ dengan cara membangkitkan sebanyak mungkin bilangan random $ u_{i}$ dan mengambilnya sebagai pendekatan kita terhadap nilai rata-rata (average) dari $g( u_{i} ) $. Pendekatan semacam ini sering disebut sebagai pendekatan Monte Carlo.

Berikut ini adalah contoh algoritma dari bahasa BASIC yang dapat digunakan untuk mendekati nilai $ \theta $ :

10 RANDOMIZE 20 INPUT K 30 S = 0 40 FOR I = 1 TO k 50 U = RND 60 S = S + g(U) 70 NEXT 80 PRINT S/K
Nilai yang dihasilkan dari alogoritma ini adalah nilai dari $ \theta = \int_{0}^{1} g(x) dx $.

Kasus 1 :

Jika kita ingin menghitung :

$ \theta = \int_{a}^{b} g(x) dx $

maka kita menggunakan substitusi $ y = (x-a)/(b – a), dy = dx / (b-a) $, sehingga :

$\begin{align*} \theta &= \int_{0}^{1} g(a+[b-a]y)(b-a)) dy\\ &= \int_{0}^{1} h(y) dy \end{align*}$

dimana h(y) = (b – a) g(a + [b – a] y ).

Dengan demikian kita dapat mendekati nilai $ \theta $ dengan membangkitkan bilang random secara kontinyu dan mengambil nilai rata-rata (average) dari h yang dihitung pada bilangan-bilangan random tadi.

Kasus 2 :

Jika kita ingin menghitung :

$\theta &= \int_{0}^{\infty} g(x) dx$